题目

已知f(x)＝4−

1

x

，若存在区间[a，b]⊆(

1

3

，+∞)，使得{y|y=f（x），x⊆[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是______．

提问时间：2021-03-04

答案

因为函数y＝

1

x

在(

1

3

，+∞)上为减函数，所以函数f(x)＝4−

1

x

在(

1

3

，+∞)上为增函数，
因为区间[a，b]⊆(

1

3

，+∞)，
由{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，
则

f(a)＝ma f(b)＝mb

，即

4− 1 a ＝ma 4− 1 b ＝mb

．
说明方程4−

1

x

＝mx有两个大于

1

3

实数根．
由4−

1

x

＝mx得：m＝−

1

x2

+

4

x

．
零t＝

1

x

，则t∈（0，3）．
则m=-t²+4t．
令g（t）=-t²+4t，图象如图，

由t∈（0，3），所以m∈（3，4）．
所以使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]的实数m的取值范围是（3，4）．
故答案为（3，4）．

首先分析出函数f(x)＝4−

1

x

在区间[a，b]上为增函数，然后由题意得到

4− 1 a ＝ma 4− 1 b ＝mb

，说明方程4−

1

x

＝mx有两个大于

1

3

实数根，分离参数m，然后利用二次函数求m的取值范围．

本题考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．

考点点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了单调函数定义域及值域的关系，训练了二次函数值域的求法，考查了数学转化思想，是中档题．