题目

设全集U=R．
（1）解关于x的不等式|x-1|+a-1＞0（a∈R）；
（2）记A为（1）中不等式的解集，集合B={x|sin(πx−

π

3

)+

3

cos(πx−

π

3

)＝0}，若（C_UA）∩B恰有3个元素，求a的取值范围．

提问时间：2021-03-04

答案

（1）由|x-1|+a-1＞0 得|x-1|＞1-a．
当a＞1时，解集是R；
当a≤1时，解集是{x|x＜a，或 x＞2-a}；（4分）
（2）当a＞1时，C_UA=∅，不满足条件．当a≤1时，C_UA={x|a≤x≤2-a}．（6分）
因sin(πx−

π

3

)+

3

cos(πx−

π

3

)=2[sin(πx−

π

3

)cos

π

3

+cos(πx−

π

3

)sin

π

3

]＝2sinπx．
由sinπx=0，得πx=kπ（k∈Z），即x=k∈Z，所以B=Z．（10分）
当（C_UA）∩B恰有3个元素时，
a就满足

a＜1 2≤2−a＜3 −1＜a≤0.

，
解得-1＜a≤0．（14分）

（1）不等式即|x-1|＞1-a，a＞1时，解集是R，a≤1时，解集是{x|x＜a，或 x＞2-a}．
（2）当a≤1时，C_UA={x|a≤x≤2-a}，利用两角和的正弦公式得到sinπx=0，B=Z，当（C_UA）∩B恰有3个元素时，
满足

a＜1 2≤2−a＜3 −1＜a≤0.

 成立，解出a的范围．

本题考点：绝对值不等式；交、并、补集的混合运算；两角和与差的正弦函数．

考点点评：本题考查绝对值不等式的解法，两角和的正弦公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．