题目
极限定义里,为什么用“存在”“任意”“不等式”的数学语言来定义极限?怎样将普通语言转化为数学语言的
定义里面有个任意给定值,在证明题里面怎么证明任意啊?随便取的一个值符合题目要求就可以证明了吗?
就是不知道这些数学语言是怎么想出来的……极限思想是什么?干嘛这么绕……
定义里面有个任意给定值,在证明题里面怎么证明任意啊?随便取的一个值符合题目要求就可以证明了吗?
就是不知道这些数学语言是怎么想出来的……极限思想是什么?干嘛这么绕……
提问时间:2021-03-04
答案
楼主的问题显然是有备而来,是经过严格逻辑分析后有感而发的问题.
确确实实,我们的高数教师,在教极限时,其实他们的大多数,也只是
跟着和尚就念经,跟着道士就画符.解释来解释去就是那么死板板的几
句话,连他们自己也没有make sense,教师如此,教科书如此,学生也
只能以葫芦画瓢,难以彻底理解.
下面尝试一下,看看能不能把问题说清楚.
1、极限的英文是limit,它有两个意思,汉语翻译成“极限”,其实是有点误导,
但是我们也没有更合适的词语.这两个意思的第一层是:限制、限定、范围、
极端、最后、、、、等等.譬如我们说人的体能极限,人的寿命极限,人的
身高极限,人跑路速度的极限等等,都是这个意思.我们在这方面强调的过
多,结果给很多学生产生了致命的影响,很多一辈子都跨不过这一道门槛.
举例说明:
A、y = 1/x 的图形,x越来越大,1/x越来越小,会碰到x轴吗?当然不会.
但是很多教师不懂教学心理学,不懂教学法,他们会反反复复强调此图形
“永远不会,永远不会”与x轴重合?需要这么强调吗?这么强调会产生什么
样的心理暗示?会造成什么样逻辑致命伤?他们从来都是眼高手低,不会
去在意这些.鬼子的教学也有类似问题,他们的说法是Never touch,Never
touch,Never touch.问题没有我们严重,至少他们还有理论家,他们还会不
断地提出一个又一个新理论,还会不断地将旧理论推陈出新.而我们呢?
我们没有任何定量理论,我们没有这方面的文化,喜欢质疑的学生会被骂
死,死记硬背的学生最受宠爱.
B、0.9严格等于1吗?当然不对.
0.99严格等于1吗?当然不对.
三个9呢?四个9呢?无限个9呢?
你问一问你周围的人,0.9循环是大概等于1?
还是严格等于1?没有一丝一毫误差?
你一定要强调没有一点点误差,没有丝毫的误差,是绝对的严格的相等.
他们的答复是:近似等于1,还是有一点点的误差.
好!他们全部上了贼船,全部上当!
接下来你问他们九分之一,化成小数是多少,他们毫不犹豫地说0.11.
到这里为止他们还是浑然不觉,不知道上当.
你再问他们两边都乘以9,会怎样?他们依然还是多数人混混噩噩,
他们自己打了自己的耳光还不知道.这就是我们的悲哀,我们的大学生中,
绝大部分是没有研究能力的,问题送到嘴边,他们不但不能领会,还会跟
你死命讲述他们的歪理,拒绝接受.这样的榆木疙瘩学生是主流.
2、上面的两个例子结合起来仔细考虑,你就会发现我们古代虽然有极限概念,
有诡辩学,但是我们把他们当成了荒唐的理论,我们就裹足不前了,落后
就是从极限开始的.极限的第二个含义是tendency,是trend,是approaches,
是goes.因为我们太多的、过多的强调了极限的“限”的含义,我们忽视了极限
的过程,忽视了极限的趋势,我们总是用有限的过程去代替无限的极限过程,
古代文明与西方的齐头并进,就是从这里开始掉队的,迄今我们还是浑然不觉,
还是喜欢自我吹嘘.
3、就是因为tendency我们忽视了,我们就开始落后了.鬼子却在此基础上突飞猛进.
第一个理论就是极限理论,极限理论的第一步就是precise method,我们的翻译
非常夸张,我们翻译为epsilon-delta语言(ε-δ语言).这个方法的实质楼主已经知
道,这是一个辩论的过程,一个争吵的过程,一个无穷列举法化成数学归纳法的
过程.这个归纳的思想跟归纳法是相通的,只是没有用归纳法的三段论方法进行,
而是换了一个数学计算的过程,所以,这是数理逻辑.
辩论是这样的:
我说f(x)最后的结果是f(a),也就是说f(x)与f(a)最后的差值要多小有多小,要小到
什么程度就可以小到什么程度,你给了一个很小很小的数,这个数就是ε.
也就是说,“任意”二字,是指你可以给出任意小的数,是你任意给的,任意小的数.
只要你给得出,我总可以算出一个区间,当我的x,goes到这个去间内,f(x)与f(a)
的差值就可以小于这个ε了.
ε是你给出的,要多小有多小的任意的数.你给出后,我就认认真真地算了一下,
你只要给得出,我就能算得出一个范围,我总能算得出一个范围,这个范围的确定
是根据你的ε算出来的,所以说“存在”,这个存在的范围不是固定的.可能我根据你
ε一下子找不到一个简单的范围,我为了能保证差值小于ε,我可能将你的ε改得更小,
为的只是能解出一个范围,进入了这个范围,f(x)与f(a)的差值更小于ε,总存在是概
念上的问题,能不能找到是解题技巧上的问题.
其实,ε是不需要具体给出的,具体给出的数,就不是任意小了.
这个ε只是论证过程中的一个例子,它可以不断地更改,不断地反悔.所以,这个ε
只是一个原则性的数,有了ε,就能找到一个区间δ,x进入了δ的范围内.我就证明
了f(x)与f(a)的差值的绝对值小于ε了.
而不等式的概念就是我们的f(x)与f(a)的差值必须限制在ε之内.
不清楚,我有没有把问题解释清楚?
加油吧!科学需要质疑!而我们最缺乏的就是质疑精神.
我们这一代已经彻底报废,希望在你们!
欢迎追问.
确确实实,我们的高数教师,在教极限时,其实他们的大多数,也只是
跟着和尚就念经,跟着道士就画符.解释来解释去就是那么死板板的几
句话,连他们自己也没有make sense,教师如此,教科书如此,学生也
只能以葫芦画瓢,难以彻底理解.
下面尝试一下,看看能不能把问题说清楚.
1、极限的英文是limit,它有两个意思,汉语翻译成“极限”,其实是有点误导,
但是我们也没有更合适的词语.这两个意思的第一层是:限制、限定、范围、
极端、最后、、、、等等.譬如我们说人的体能极限,人的寿命极限,人的
身高极限,人跑路速度的极限等等,都是这个意思.我们在这方面强调的过
多,结果给很多学生产生了致命的影响,很多一辈子都跨不过这一道门槛.
举例说明:
A、y = 1/x 的图形,x越来越大,1/x越来越小,会碰到x轴吗?当然不会.
但是很多教师不懂教学心理学,不懂教学法,他们会反反复复强调此图形
“永远不会,永远不会”与x轴重合?需要这么强调吗?这么强调会产生什么
样的心理暗示?会造成什么样逻辑致命伤?他们从来都是眼高手低,不会
去在意这些.鬼子的教学也有类似问题,他们的说法是Never touch,Never
touch,Never touch.问题没有我们严重,至少他们还有理论家,他们还会不
断地提出一个又一个新理论,还会不断地将旧理论推陈出新.而我们呢?
我们没有任何定量理论,我们没有这方面的文化,喜欢质疑的学生会被骂
死,死记硬背的学生最受宠爱.
B、0.9严格等于1吗?当然不对.
0.99严格等于1吗?当然不对.
三个9呢?四个9呢?无限个9呢?
你问一问你周围的人,0.9循环是大概等于1?
还是严格等于1?没有一丝一毫误差?
你一定要强调没有一点点误差,没有丝毫的误差,是绝对的严格的相等.
他们的答复是:近似等于1,还是有一点点的误差.
好!他们全部上了贼船,全部上当!
接下来你问他们九分之一,化成小数是多少,他们毫不犹豫地说0.11.
到这里为止他们还是浑然不觉,不知道上当.
你再问他们两边都乘以9,会怎样?他们依然还是多数人混混噩噩,
他们自己打了自己的耳光还不知道.这就是我们的悲哀,我们的大学生中,
绝大部分是没有研究能力的,问题送到嘴边,他们不但不能领会,还会跟
你死命讲述他们的歪理,拒绝接受.这样的榆木疙瘩学生是主流.
2、上面的两个例子结合起来仔细考虑,你就会发现我们古代虽然有极限概念,
有诡辩学,但是我们把他们当成了荒唐的理论,我们就裹足不前了,落后
就是从极限开始的.极限的第二个含义是tendency,是trend,是approaches,
是goes.因为我们太多的、过多的强调了极限的“限”的含义,我们忽视了极限
的过程,忽视了极限的趋势,我们总是用有限的过程去代替无限的极限过程,
古代文明与西方的齐头并进,就是从这里开始掉队的,迄今我们还是浑然不觉,
还是喜欢自我吹嘘.
3、就是因为tendency我们忽视了,我们就开始落后了.鬼子却在此基础上突飞猛进.
第一个理论就是极限理论,极限理论的第一步就是precise method,我们的翻译
非常夸张,我们翻译为epsilon-delta语言(ε-δ语言).这个方法的实质楼主已经知
道,这是一个辩论的过程,一个争吵的过程,一个无穷列举法化成数学归纳法的
过程.这个归纳的思想跟归纳法是相通的,只是没有用归纳法的三段论方法进行,
而是换了一个数学计算的过程,所以,这是数理逻辑.
辩论是这样的:
我说f(x)最后的结果是f(a),也就是说f(x)与f(a)最后的差值要多小有多小,要小到
什么程度就可以小到什么程度,你给了一个很小很小的数,这个数就是ε.
也就是说,“任意”二字,是指你可以给出任意小的数,是你任意给的,任意小的数.
只要你给得出,我总可以算出一个区间,当我的x,goes到这个去间内,f(x)与f(a)
的差值就可以小于这个ε了.
ε是你给出的,要多小有多小的任意的数.你给出后,我就认认真真地算了一下,
你只要给得出,我就能算得出一个范围,我总能算得出一个范围,这个范围的确定
是根据你的ε算出来的,所以说“存在”,这个存在的范围不是固定的.可能我根据你
ε一下子找不到一个简单的范围,我为了能保证差值小于ε,我可能将你的ε改得更小,
为的只是能解出一个范围,进入了这个范围,f(x)与f(a)的差值更小于ε,总存在是概
念上的问题,能不能找到是解题技巧上的问题.
其实,ε是不需要具体给出的,具体给出的数,就不是任意小了.
这个ε只是论证过程中的一个例子,它可以不断地更改,不断地反悔.所以,这个ε
只是一个原则性的数,有了ε,就能找到一个区间δ,x进入了δ的范围内.我就证明
了f(x)与f(a)的差值的绝对值小于ε了.
而不等式的概念就是我们的f(x)与f(a)的差值必须限制在ε之内.
不清楚,我有没有把问题解释清楚?
加油吧!科学需要质疑!而我们最缺乏的就是质疑精神.
我们这一代已经彻底报废,希望在你们!
欢迎追问.
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