题目
已知抛物线C1:y=-x2+2mx+n(m,n为常数,且m≠0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式:______;
(2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由;
(3)抛物线C1上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.
(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式:______;
(2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由;
(3)抛物线C1上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.
提问时间:2021-03-04
答案
(1)y=-x2-2mx+n;
(2)当m=1时,△ABC为等腰直角三角形,
理由如下:如图:
∵点A与点B关于y轴对称,点C又在y轴上,
∴AC=BC,过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D,过点C作CE⊥AD于E.
∴当m=1时,顶点A的坐标为A(1,1+n),
∴CE=1;
又∵点C的坐标为(0,n),
∴AE=1+n-n=1,
∴AE=CE;
从而∠ECA=45°,
∴∠ACy=45°,
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形;
(3)假设抛物线C1上存在点P,使得四边形ABCP为菱形,则PC=AB=BC.
由(2)知,AC=BC,
∴AB=BC=AC,
从而△ABC为等边三角形.
∴∠ACy=∠BCy=30°.
∵四边形ABCP为菱形,且点P在C1上,
∴点P与点C关于AD对称,
∴PC与AD的交点也为点E,
因此∠ACE=90°-30°=60°.
∵点A,C的坐标分别为A(m,m2+n),C(0,n),
∴AE=m2+n-n=m2,CE=|m|.
在Rt△ACE中,tan60°=
=
=
(2)当m=1时,△ABC为等腰直角三角形,
理由如下:如图:
∵点A与点B关于y轴对称,点C又在y轴上,
∴AC=BC,过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D,过点C作CE⊥AD于E.
∴当m=1时,顶点A的坐标为A(1,1+n),
∴CE=1;
又∵点C的坐标为(0,n),
∴AE=1+n-n=1,
∴AE=CE;
从而∠ECA=45°,
∴∠ACy=45°,
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形;
(3)假设抛物线C1上存在点P,使得四边形ABCP为菱形,则PC=AB=BC.
由(2)知,AC=BC,
∴AB=BC=AC,
从而△ABC为等边三角形.
∴∠ACy=∠BCy=30°.
∵四边形ABCP为菱形,且点P在C1上,
∴点P与点C关于AD对称,
∴PC与AD的交点也为点E,
因此∠ACE=90°-30°=60°.
∵点A,C的坐标分别为A(m,m2+n),C(0,n),
∴AE=m2+n-n=m2,CE=|m|.
在Rt△ACE中,tan60°=
AE |
CE |
m2 |
|m| |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程. 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好 奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看? 想找英语初三上学期的首字母填空练习…… 英语翻译 最新试题
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