题目

正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ___ ．

提问时间：2021-03-04

答案

因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，
 当CD∥平面α，这时的投影面是对角线为1的正方形，
此时面积最大，是2×

1

2

×1×

1

2

=

1

2

当CD⊥平面α时，射影面的面积最小，
此时构成的三角形底边是1，高是直线CD到AB的距离，为

2

2

，射影面的面积是

2

4

，
故答案为：[

2

4

，

1

2

]

首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．

本题考点：平行投影及平行投影作图法．

考点点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题．