题目

将点A(2,0)按向量a平移至点B若过点B只有一条直线L与圆X^2+Y^2-2X+2Y-6=0相切,求当|a|最小时,L的方程

提问时间：2021-03-04

答案

将点A(2,0)按向量a平移至点B若过点B只有一条直线L与圆X^2+Y^2-2X+2Y-6=0相切,求当|a|最小时,L的方程
因为过点B只有一条直线L与圆X^2+Y^2-2X+2Y-6=0相切,所以B点是圆上的一点!
那么当|a|最小时,向量a的方向必定在点A与圆心的连线上.
圆X^2+Y^2-2X+2Y-6=0可化为：(x-1)^2+(y+1)^2=4
圆心坐标为：O(1,-1)
可求得AO的斜率为k=(-1-0)/(1-2)=1
直线AO的方程为：y=x-2
直线AO与圆的交点为（将y=x-2代入圆的方程可解出）
x1=1+√2 ,x2=1-√2
可以检验出上面两个根中x1可以使|a|最小,所以x2舍去
所以进一步求得B点坐标为：（1+√2,√2-1）
易知切线l与AO垂直,所以l的斜率为kl=-1/1=-1,且过B点
所以L的方程为：y=-1(x-1-√2)+√2-1
化简得：
L：y＝－x＋2√2