题目

如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．

提问时间：2021-03-04

答案

CN=MN+BM
证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中，

BD＝DC ∠MBD＝∠ECD BM＝CE

，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND与△END中，

ND＝ND ∠MDN＝∠EDN MD＝DE

，
∴△MND≌△END（SAS），
∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．

先求证△MBD≌△ECD可得MD=DE，∠MDB=∠EDC，进而求证△MND≌△END，即可得MN=NE，即可证明CN=NE+CE=MN+BM，即可解题．

本题考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了等边三角形各边长、各内角为60°的性质，本题中求证MN=NE是解题的关键．