题目

问一道高二的椭圆题,明天要交的谢谢!
已知x²/4+y²=1,求f(X,Y)=x²+2XY+4y²+X+2Y的最值
应该是用参数方程做,但没化出来,

提问时间：2021-03-04

答案

椭圆标准方程为x²/4+y²=1
化为参数方程
x=2cosθ
y=sinθ
θ∈[0,2π)
代入
f(x,y)=x²+2xy+4y²+x+2y
f(x,y)=4cos²θ+2sinθcosθ+4sin²θ+2cosθ+2sinθ
f(x,y)=3cos²θ+cos²θ+2sinθcosθ+sin²θ+3sin²θ+2(sinθ+cosθ)
f(x,y)=(sinθ+cosθ)²+2(sinθ+cosθ)+3
f(x,y)=[(sinθ+cosθ)+1]²+4
所以当sinθ+cosθ=-1 即θ=π时,f(x,y)有最小值,最小值为4
由于sinθ+cosθ
=√2(√2/2*sinθ+√2/2*cosθ)
=√2(sinθcosπ/4+cosθsinπ/4)
=√2sin(θ+π/4)
所以当sin(θ+π/4)=1 即θ=π/4时 f(x,y)有最大值,最大值为7+2√2