题目

在三角形ABC中∠ACB=∠2B,如图,1,∠C=90,AD为△ABC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC＋CD
(1）.　　如图2,当∠C≠90°AD为△ABC的角平分线时,线段AB.AC.CD又有怎样的数量关系

提问时间：2021-03-04

答案

（1）猜想：AB=AC+CD．
证明：如图②,在AB上截取AE=AC,连接DE,
∵AD为∠BAC的角平分线时,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADC（SAS）,
∴∠AED=∠C,ED=CD,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠AED=2∠B,
∴∠B=∠EDB,
∴EB=ED,
∴EB=CD,
∴AB=AE+DE=AC+CD．
（2）猜想：AB+AC=CD．
证明：在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED．
∵AD平分∠FAC,
∴∠EAD=∠CAD．
在△EAD与△CAD中,AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,
∴△EAD≌△CAD．
∴ED=CD,∠AED=∠ACD．
∴∠FED=∠ACB．
又∠ACB=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,∠EDB=∠B．
∴EB=ED．
∴EA+AB=EB=ED=CD．
∴AC+AB=CD．