题目

一道高二椭圆题.
已知直线l=-x+1与椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 =1(a＞b＞0)相交于A、B两点,且线段AB中点为(2/3,1/3)
（1）求此椭圆的离心率
（2）若椭圆的右焦点关于直线l对称点在圆x^2+y^2=5上,求此椭圆的方程
已知直线l:y=-x+1..少打了y- -

提问时间：2021-03-04

答案

（1）设A（x1,y1）B（x2,y2）
则 x1^2/a^2 + y1^2/b^2 =1
x2^2/a^2 + y2^2/b^2 =1
两式左边平方差得
(x1-x2)(x1+x2)/a^2 + (y1-y2)(y1+y2)/b^2 ＝0
因为中点为(2/3,1/3)
所以 x1+x2=4/3 y1+y2=2/3
代入得 4(x1-x2)/3a^2= - 2(y1-y2)/3b^2
所以 (y1-y2)/(x1-x2)＝2b^2/-a^2=-1
所以 b^2/a^2=1/2 b/a=1/根号2
e=c/a=1/根号2
（2）将圆关于直线对称过去,必过右焦点,
只要把圆心对称过去就可得对称圆的方程了
圆心关于直线的对称点为（2,2）
对称圆的方程（x－2）^2+（y－2）^2=5
令Y＝0 得x＝3或1
所以右焦点为 (3,0) ,或 （1,0）