题目

不等式 (6 15:54:49)
1、已知：a>0,b>0,a,b的等差中项为1/2,且α=a+1/a,β=b+1/b,则α+β得最小值为       .
2、若x>1时,不等式x+1/(1-x)≥k恒成立.则实数k的取值范围为      
 

提问时间：2021-03-04

答案

1、已知： a>0,b>0,a,b的等差中项为1/2,且α=a+1/a,β=b+1/b,则α+β得最小值为

因为a,b的等差中项是1/2
所以a＋b＝1
所以
α＋β
＝a＋1/a＋b＋1/b
＝1＋1/a＋1/b
＝1＋(a＋b)/ab
＝1＋1/ab
因为a＞0,b＞0
a＋b≥2√(ab)
所以ab≤1/4
所以1/ab≥4
所以α＋β＝1＋1/ab ≥1＋4＝5
即α＋β的最小值为5
.
2、若x>1时,不等式x+1/(1-x)≥k恒成立.则实数k的取值范围为
x+1/(1-x)≥k恒成立,即1+(x-1)-1/(x-1)>=k恒成立.
那么k就要小于等于(x-1)-1/(x-1)的最小值.