题目

已知函数f（x）=

2

3

x3−2ax2-3x（a∈R）．
（1）当|a|≤

1

4

时，求证f（x）在（-1，1）内是减函数；
（2）若函数y=f（x）在区间（-1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．

提问时间：2021-03-04

答案

（1）f'（x）=2x2-4ax-3，对称轴x＝a∈[−14，14]⊂(−1，1)f′(x)min＝f′(a)＝−2a2−3＜0，f′(1)＝−2a−72＜0，f′(−1)＝2a−72＜0f′（x）max=maxf′（1），f′（-1）＜0，∴f（x）在（-1，1）上是减函数．（...

（1）首先对于函数求导，得到导函数是一个二次函数，根据二次函数的性质对于导函数的符号进行验证，得到结果．
（2）设出极值点，根据函数在所给的区间上只有一个极值点，对于函数的导函数的符号进行讨论，得到结果．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查函数的极值和单调性的应用，属于中档题．