题目

已知点P(x,y)在直线3x-4y+4=0上,求根号下(x+3)^2+(y-5)^2+根号下(x-2)^2+(y-15)^2的最小值

提问时间：2021-03-04

答案

方法一：
引入复数：z1＝（x＋3）＋（y－5）i、z2＝（x－2）＋（y－15）i.
∴｜z1｜＝√［（x＋3）^2＋（y－5）^2］、｜z2｜＝√［（x－2）^2＋（y－15）^2］,
∴√［（x＋3）^2＋（y－5）^2］＋√［（x－2）^2＋（y－15）^2］
＝｜z1｜＋｜z2｜
≧｜z1－z2｜
＝｜［（x＋3）＋（y－5）i］－［（x－2）＋（y－15）i］｜
＝｜5＋10i｜
＝√（25＋100）
＝5√5.
∴√［（x＋3）^2＋（y－5）^2］＋√［（x－2）^2＋（y－15）^2］的最小值是5√5.
方法二：
∵√［（x＋3）^2＋（y－5）^2］是点A（x,y）和点B（－3,5）间的距离,
　√［（x－2）^2＋（y－15）^2］是点A（x,y）和点C（2,15）间的距离,
容易验证出：点A、B都不在直线3x－4y＋4＝0上.
∴｜AB｜＋｜AC｜≧｜BC｜＝√［（－3－2）^2＋（5－15）^2］＝√125＝5√5.
∴√［（x＋3）^2＋（y－5）^2］＋√［（x－2）^2＋（y－15）^2］的最小值是5√5.