题目

已知抛物线X的平方等于2PY,过焦点F作倾角30度的直线交抛物线于AB两点（A在左侧）,求AF与FB的比

提问时间：2021-03-03

答案

p的正负与所求结论没有关系,所以可设p>0,于是抛物线的焦点位于y轴正半轴,抛物线图像除了原点外全部位于x轴上方,这样设定利于之后的几何关系的求解
抛物线的准线方程为L:y=-p/2,是平行于x轴的直线,位于x轴下方,如果过A,B分别作AC⊥L于C,BD⊥L于D,那么,AC,BD则分别是A点和B点到抛物线准线的距离,根据抛物线上的点到焦点以及准线的距离相等这个性质,有结论AF=AC,BD=BF成立,这样AB=AF+BF,而因为AB倾斜角为30度,大于0,显然AB直线式单调增的,A在B点左侧,于是有BD>AC,BF>AF的结论,这样方便之后的辅助线构造
如果过A点做AE⊥BD于E点,则根据几何图形可得出：BE=BD-AC,从而有BE=FB-AF,而AB的倾斜角为30度,对应在△ABE中有∠BAE=30度,于是,sin∠BAE=BE/AB=1/2,AB=2BE,(BF+AF)=2(BF-AF),所以有AF:FB=1:3