题目
(1)如图,顺次连接正方形ABCD的各边中点,得到一个小正方形EFGH.则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是多少?
(2)依次连接矩形、菱形和平行四边形的各边中点,所得四边形与原四边形的面积比是多少?
(3)对于任意四边形,是否也有类似结论?
提问时间:2021-03-03
答案
(1)如图1,连接AC、BD.
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=
AC,且EF∥AC.
同理,HG=
AC,且HG∥AC,
∴EF=HG,且EF∥HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴EH∥FG,EH=FG=
BD.
又∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∴EF⊥EH,
∴S四边形EFGH=EF•EH=
BD•
AC=
S正方形ABCD.
∴S四边形EFGH:S正方形ABCD=1:2.即正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是1:2;
(2)如图2,依次连接菱形的各边中点.
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=
AC,且EF∥AC.
同理,HG=
AC,且HG∥AC,
∴EF=HG,且EF∥HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴EH∥FG,EH=FG=
BD.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴EF⊥EH,
∴S四边形EFGH=EF•EH=
BD•
AC=
S正方形ABCD.
同理,依次连接矩形和平行四边形的各边中点,所得四边形与原四边形的面积比是1:2.
(3)由(2)得,对于任意四边形,依次连接四边形的各边中点,所得四边形与原四边形的面积比是1:2.
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=
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同理,HG=
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∴EF=HG,且EF∥HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴EH∥FG,EH=FG=
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又∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∴EF⊥EH,
∴S四边形EFGH=EF•EH=
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∴S四边形EFGH:S正方形ABCD=1:2.即正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是1:2;
(2)如图2,依次连接菱形的各边中点.
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=
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同理,HG=
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∴EF=HG,且EF∥HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴EH∥FG,EH=FG=
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又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴EF⊥EH,
∴S四边形EFGH=EF•EH=
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同理,依次连接矩形和平行四边形的各边中点,所得四边形与原四边形的面积比是1:2.
(3)由(2)得,对于任意四边形,依次连接四边形的各边中点,所得四边形与原四边形的面积比是1:2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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