题目

设函数f（x）=lnx．
（Ⅰ）证明函数g（x）=f（x）-

2(x−1)

x+1

在x∈（1，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）若不等式1-x²≤f（e^1-2x）+m²-2bm-2，当b∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-03-03

答案

（I）证明：∵g′(x)＝1x−2(x+1)−2(x−1)(x+1)2＝(x−1)2x(x+1)2，当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）在x∈（1，+∞）上是单调增函数．（II）∵f（e1-2x）=lne1-2x=1-2x，∴原不等式即为m2-2bm-2≥1-（x-1）2在b∈[-1...

（I）只需求出g′（x），证明g′（x）≥0；
（Ⅱ）原不等式即为m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]时恒成立．由1-（x-1）²的最大值为1知，只需m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]时恒成立．令Q（b）=m²-2bm-3，则Q（-1）≥0，且Q（1）≥0．解出即可；

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力．