题目

无理数的无理数次方可能是整数吗?
请给出证明,
是整数，不知是有理数，然后证法要适合高一

提问时间：2021-03-02

答案

不一定.根号2的根号2次方是什么?
如果是有理数,最好不过.
如果是无理数,那么这个数的根号2次方就是2,就是无理数的无理数次方是有理数.
证明：
若（根号2的根号2次方）为有理数,则命题成立.
若（根号2的根号2次方）为无理数,则（根号2的根号2次方）的（根号2）次方=（根号2）的（根号2*根号2）次方=（根号2）的（2）次方=2,2为有理数,命题成立.
又如：
证明方法：
随便取一个数的自然对数,如ln10
如果ln10为无理数,就证明无理数的无理数次方可以为有理数.
证明ln10为无理数,也就是证明ln10不可能是有理数.
采用反证法,设ln10为有理数.
我们知道有理数和无理数的差别.
有理数是可以表示成分数的,即可以表示为两个整数相除.
而无理数,是不能表示为两个整数相除的.
如果ln10为有理数,则e的有理数次（此数不为0）方可能为有理数.（推论1）
即无理数e的整数次幂开整数次方为有理数.
先讨论e的整数次幂的问题.
无理数e的整数次幂可以表示成若干个无理数e相乘.其结果只能是无理数.证明如下：
如果e的整数次幂为有理数,那么e可以表示为有理数除以一个整数,而该有理数也可以表示为两整数相除,最后得出e可以表示为两整数相除,与e的无理数身份矛盾.
所以e的整数（不能为0）次幂必为无理数.（定理1）
其次,无理数开整数次方不可能是有理数.（定理2）这个大家都明白,很简单.
根据定理1和定理2,得出无理数e的有理数（不能为0）次幂必为无理数.（定理3）
如果ln10是有理数,那么根据定理3,10为无理数.错误.
所以ln10为无理数.
所以,无理数的无理数次方可能为有理数.