题目

设向量a1=（1,4,0,2）,a2=(2,7,1,3）,a3=(0,1,-1,a),β=(3,10,b,4)
(1)当a,b取何值时,β不能由a1,a2,a3线性表示?
（2）当a,b取何值时,β可由a1,a2,a3线性表示?并求出相应的表达式
我做的是设β=k1a1+k2a2+k3a3,带入后的非齐次线性方程组,
并提出它的系数矩阵是 1 2 0 3
4 7 1 10
0 1 -1 b
2 3 -a 4
然后初等变换最终得 1 2 0 3
0 -1 1 -2
0 0 -a-1 0
0 0 0 b-2
第一问线性无关则行列式不等于零则1*-1*-a-1*b-2≠0,应该是a≠-1且b≠2呀,可是答案是a为任意实数,b≠2,为什么我的解法错了,错在哪里,

提问时间：2021-03-02

答案

此题不能用系数行列式来判断
应该用系数矩阵和其增广矩阵的秩
当r(A)+1=r(A增广)时,方程组无解,即β不能由a1,a2,a3线性表出
所以a为任意,b≠2
只有在方程组有解并且其增广矩阵为n阶方阵<=>行列式=0,为充要条件
反之则不一定成立,即方程组无解<≠>行列式≠0,不能用这个来判断