题目

在数列中an=1/3,sn=n(2n-1)an,求sn..做到这一步（2n+1)an=(2n-3)a(n-1),怎得an=1/4n^2-1?

提问时间：2021-03-02

答案

Sn=n(2n-1)an 所以S(n-1)=(n-1)(2n-3)a(n-1) （n大于等于2）否则S(n-1)无意义
Sn-S(n-1)=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)a(n-1)
an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)a(n-1)
化简可得an/a(n-1)=(2n-3)/(2n+1)
所以连续相乘求通项公式,仔细一点,一点点的约
[an/a(n-1)]*[a(n-1)/a(n-2)]*.[a4/a3]*[a3/a2]*[a2/a1]=[(2n-3)/(2n+1)]*[(2n-5)/(2n-1)]*[(2n-7)/(2n-3)].[5/9]*[3/7]*[1/5]=(3*1)/(2n+1)(2n-1)
即an/a1=3/(2n+1)(2n-1),因为a1=1/3 所以an=1/(2n+1)(2n-1)=1/(4n^2-1)
所以Sn=n(2n-1)*[1/(2n+1)(2n-1)]=n/(2n+1) 此时求的是n大于等于2的情况下的式子
经检验当n=1时 S1=a1=1/3所以n=1时同样成立
所以综合上述 Sn=n/(2n+1)