题目
已知椭圆c的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为2根号3离心率为3分之根号3,经其左焦点F1的直线l交椭圆c于p q两点,
1问:求椭圆c的标准方程,
2问:椭圆右焦点记为F2若F2P垂直于F2Q求直线l的方程
1问:求椭圆c的标准方程,
2问:椭圆右焦点记为F2若F2P垂直于F2Q求直线l的方程
提问时间:2021-03-02
答案
1、长轴=2a=2√3,则a=√3
离心率e=c/a=√3/3,所以c=1;
则b²=a²-c²=2
所以,椭圆方程为:x²/3+y²/2=1
2、由(1)F1(-1,0),F2(1,0)
设L:y=k(x+1),即y=kx+k;(注:斜率不存在的情况也要讨论一下,该题中是不成立的,舍去)
设P(x1,y1),Q(x2,y2);
F2P⊥F2Q,则向量F2P⊥F2Q;
向量F2P=(x1-1,y1),F2Q=(x2-1,y2);
向量F2P⊥F2Q,则:(x1-1)(x2-1)+y1y2=0
即:x1x2-(x1+x2)+y1y2+1=0,①
因为PQ在直线y=k(x+1)上,则y1=k(x1+1),y2=k(x2+1);
所以:y1y2=k(x1+1)*k(x2+1)=k²x1x2+k²(x1+x2)+k²,代入①式
得:(k²+1)x1x2+(k²-1)(x1+x2)+k²+1=0,②
直线y=kx+k与椭圆x²/3+y²/2=1联列方程组,消去y,得:
(3k²+2)x²+6k²x+3k²-6=0
由韦达定理:x1+x2=-6k²/(3k²+2),x1x2=(3k²-6)/(3k²+2),代入②式,得:
(k²+1)(3k²-6)/(3k²+2)-6k²(k²-1)/(3k²+2)+k²+1=0
去分母:(k²+1)(3k²-6)-6k²(k²-1)+(k²+1)(3k²+2)=0
3k^4-3k²-6-6k^4+6k²+3k^4+5k²+2=0
8k²-4=0
k²=1/2
k=±√2/2
所以,L:y=±(√2/2)(x+1)
离心率e=c/a=√3/3,所以c=1;
则b²=a²-c²=2
所以,椭圆方程为:x²/3+y²/2=1
2、由(1)F1(-1,0),F2(1,0)
设L:y=k(x+1),即y=kx+k;(注:斜率不存在的情况也要讨论一下,该题中是不成立的,舍去)
设P(x1,y1),Q(x2,y2);
F2P⊥F2Q,则向量F2P⊥F2Q;
向量F2P=(x1-1,y1),F2Q=(x2-1,y2);
向量F2P⊥F2Q,则:(x1-1)(x2-1)+y1y2=0
即:x1x2-(x1+x2)+y1y2+1=0,①
因为PQ在直线y=k(x+1)上,则y1=k(x1+1),y2=k(x2+1);
所以:y1y2=k(x1+1)*k(x2+1)=k²x1x2+k²(x1+x2)+k²,代入①式
得:(k²+1)x1x2+(k²-1)(x1+x2)+k²+1=0,②
直线y=kx+k与椭圆x²/3+y²/2=1联列方程组,消去y,得:
(3k²+2)x²+6k²x+3k²-6=0
由韦达定理:x1+x2=-6k²/(3k²+2),x1x2=(3k²-6)/(3k²+2),代入②式,得:
(k²+1)(3k²-6)/(3k²+2)-6k²(k²-1)/(3k²+2)+k²+1=0
去分母:(k²+1)(3k²-6)-6k²(k²-1)+(k²+1)(3k²+2)=0
3k^4-3k²-6-6k^4+6k²+3k^4+5k²+2=0
8k²-4=0
k²=1/2
k=±√2/2
所以,L:y=±(√2/2)(x+1)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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