题目

求几道有关椭圆的数学题的解～
1.已知直线y=Kx+2和椭圆2x^2+3y^2=6有两个公共点,则K的变化范围是＿
2.椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y=1交A.B两点,C为AB的中点,如果|AB|=根号8,OC的斜率为(根号2)/2,求a.b的值.
3.在椭圆7x^2+4y^2=28上求一点,使它到直线3x-2y-16=0的距离最短,并求此距离.
回答的时候最好有过程,另外,有兴趣的友友还可以查一下我提的其他有关椭圆题（那些题,现在还没人解出来）,会加200的.

提问时间：2021-03-02

答案

1)将Y=KX+2代入2X²+3Y²=1中,
2X²+3(K²X²+4KX+4)=1
(3K²+2)X²+12KX+11=0
Δ=144K²-132K²-88=12K²-88
令Δ=0,解得:K=±√66/3
2)ax^2+by^2=1与直线方程x+y=1联立：得到：
(a+b)x^2-2bx+b-1=0
由弦长公式：|AB|=|x2-x1|根号(1+k^2)
而一直直线斜率k=-1,由韦达定理：知|x2-x1|=(根号下Δ)/|a+b|,而已知该曲线为椭圆,因此a>0,b>0,代入得：
2根号2*根号下(a+b-ab)/(a+b)=2根号2
即:根号下(a+b-ab)/(a+b)=1(1 )
然后利用AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为2分之根号2得到：
k=((y1+y2)/2)/((x1+x2)/2)=(y1+y2)/(x1+x2)=1/根号2
而y1+y2=(1-x1)+(1-x2)=2-(x1+x2)=2-2b/(a+b)
x1+x2=2b/(a+b)
代入并化简得到：2a=b*跟号2(2 )
联立1,2解得a=1/3,b=(根号2)/3
3)椭圆化成标准式:x^2/4+y^2/7=1
再设:x=2cosb;y=√7sinb (换元法)
再到点到直线距离公式:d=(6cosb-2√7sinb-16)/
√13 (分子有绝对值)
再用化一公式:d=(根号6*6+2*2*7)cos(b+c)-16/√13=8cos(b+c)-16/√13 (分子有绝对值)
d(min)=(16-8)/√13=8√13/13 (当cos(b+c)取1时,得最小值)