题目

振荡间断点处的极限值是否存在
书上提到sin（1/x）和cos(1/x)在x=0处是振荡间断点,那么请问这连个函数虽然在x=0处不连续,但是在x=0处是否存在极限值呢?x*cos（1/x）的极限值存在吗（x->0时）?

提问时间：2021-03-02

答案

sin（1/x）在x=0处无极限.你想,当趋近0时,1/x趋近于正的无穷大,那么相像在坐标轴上,当sin（1/x）中的1/x趋于正无穷大时,sin（1/x）是不是一直在1与-1之间波动,一直停不下来呢?当然,cos(1/x)也是一个道理.
至于x*cos（1/x）,它在0处极限为0.原因是cos（1/x）虽然无极限,但有界,一个有界的函数与一个无穷小的乘积必然就是个无穷小的值,在这儿,就是0.（0也是无穷小）