题目

设m,n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与m⊥n等价的个数有（ ）
①m.n=0 ②x1x2=-y1y2
③|m+n|=|m-n| ④③|m+n|=√m2+n2
A1个 B2个 C 3个 D4个

提问时间：2021-03-02

答案

m⊥n→①：∵m⊥n∴＜m,n＞＝90º,m·n＝|m||n|cos90º＝0.①成立.
①→②：m·n＝（x1x2+y1y2）＝0.∴x1x2=-y1y2.②成立.
②→③：|m+n|²＝（x1+x2）²+（y1+y2）²＝∵②＝（x1-x2）²+（y1-y2）²＝
＝|m-n|²,|m+n|=|m-n| .③成立.
③→④：|m+n|=|m-n| →m²+m·n+n²＝m²-m·n+n²＝0→m·n＝0
→|m+n|²＝m²+n²→|m+n|＝√[m²+n²].④成立.
④→m⊥n:|m+n|＝√[m²+n²]→|m+n|²＝m²+n²→m²+m·n+n²＝m²+n²→
→m·n＝0→|m||n|cos＜m,n＞＝0,注意m,n是两个非零向量.∴cos＜m,n＞＝0
∴＜m,n＞＝90º,m⊥n成立,
我们证明了：m⊥n→①→②→③→④→m⊥n.
从而m⊥n←→①←→②←→③←→④.答案 当然是 选 D 4个 啦.