题目

若函数y=f（x）的值域是[1/2,3],则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是（）
A.[1/2,3] B.[2,10/3] c.[5/2,10/3] D [3,10/3]
令f(x)=t,则F(x)=t+1/t
∵1/2≤t≤3 ……①
∴1/3≤1/t≤2 ……②
①+②得
5/6≤t+1/t≤5
即F(x)的值域是[5/6,5]
为什么没这个答案?

提问时间：2021-03-02

答案

当①式中t=1/2时,1/t=2并不是等于1/3
即①②式中的左端点不能同时取到,同样右端点也不能同时取到
正确解法：
最小值用楼上说的基本不等式,可求得为2
最大值应该用导数法（最小值也可一起求出,即根本就不要用基本不等式了）
令g(t)=t+1/t
g'(t)=1-1/t²=(t+1)(t-1)/t²
[1/2,1]上减函数 [1,3]上增函数
最小值是g(1)=2
最大值是g(1/2)与g(3)中大的那一个
由于g(1/2)=5/2 g(3)=10/3
所以最大值为10/3
故值域为[2,10/3]