题目

椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a大于b大于0)的离心率e=√6/3,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线过原点的距离为√3/2
（1）求椭圆的方程；（2）设 F1、F2 为椭圆的左、右焦点,过 F2 作直线交椭圆于 P 、Q 两点,求三角形 PQF1 的内切圆半径 r 的最大值.

提问时间：2021-03-01

答案

(1)直线的斜率为b/a,所以直线的方程为(b/a)x-y-b=0
所以直线到原点的距离d=|-b|/√(b/a)^2+1=√3/2
e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=1-b^2/a^2=2/3
所以b^2/a^2=1/3,代入d的代数式,有b=1
所以a=√3
所以椭圆的方程为x^2/3+y^2=1
(2)内切圆的半径为r=2S÷C,当中S表示三角形的面积,C表示三角形的周长
我们知道,在椭圆中,椭圆上的点到椭圆两个焦点之和为常数即2a.
题目中的三角形的周长为4a,即4√3.
连接PQ,直线所在的直线的方程为y=k(x-√2)-------经过焦点F2(√2,0)
椭圆方程为x^2/3+y^2=1,变形为x^2+3y^2=3
联立方程有
x^2=(y-k√2)^2/k^2
代入变形后的椭圆方程
y^2-2√2ky+2k^2+3k^2*y^2=3k^2
(3k^2+1)y^2-2√2ky-k^2=0
y1+y2即为三角形PF1F2和三角形QF1F2的高之和
y1+y2=2√2k/(3k^2+1)
底F1F2=2c=2√2
2*S三角形PQF2=2*(1/2)*2√2*2√2k/(3k^2+1)=8k/(3k^2+1)
三角形PQF2的周长=4a=4√3
所以r=2S/C=2√3k/(9k^2+3)