题目

已知一幂函数与它的反函数为同一函数,且y=f(x)在（0,∞）上单调递减,记S(n)=f(1)+
(2)+f(3)+……+f(n) (n∈N)
(1)、分别求出使下列两个不等式各自成立的最小自然数m及k
S(m)﹥1+S(1)　　 S(k)﹥1+S(2)
(2)、求最小自然数a ,使对一切n∈N,不等式S（3n+a）﹥1+S(n)成立

提问时间：2021-03-01

答案

已知一幂函数与它的反函数为同一函数,且y=f(x)在（0,∞）上单调递减,
记S(n)=f(1)+(2)+f(3)+……+f(n) (n∈N)
(1)、分别求出使下列两个不等式各自成立的最小自然数m及k：S(m)﹥1+S(1)；S(k)﹥1+S(2)；
(2)、求最小自然数a ,使对一切n∈N,不等式S(3n+a)﹥1+S(n)成立.
设此幂函数为y=x^μ；其反函数为y=x^(1/μ)；二者为同一函数,且在（0,∞）上单调递减,
故μ=-1；即此幂函数为y=x⁻¹=1/x；
(1).S(m)=1+(1/2)+(1/3)+.+(1/m)>0.577216.+lnm=1+S(1)=1+1=2
故得lnm=2-0.577216.=1.422784...,；由此得m=4；即1+(1/2)+(1/3)+(1/4)=25/12=22.0833...>2
S(k)=1+(1/2)+.+(1/k)>0.577216.+lnk=1+S(2)=1+1+(1/2)=2.5
故得lnk=2.5-0.577216...=1.922784.；故k=7；即1+(1/2)+.+(1/7)=1090/420=2.595>2.5.
(2).S(3n+a)=1+(1/2)+...+(1/n)+1/(n+1)+1/(n+2)+.+(1/2n)+1/(2n+1)+1/(2n+2)+.+(1/3n)+
+1/(3n+1)+1/(3n+2)+.+1/(3n+a)>1+S(n)=1+1+(1/2)+(1/3)+.(1/n)
即有1/(n+1)+1/(n+2)+.+(1/2n)+1/(2n+1)+...+1/(2n+2)+.+(1/3n)+1/(3n+1)+1/(3n+2)+
.+1/(3n+a)>1；当n=1时有(1/2)+(1/2)+(1/3)+(1/4)=1+(7/12)>1,故mina=1.