题目

向量和三角函数综合题
已知向量a=（1-tanx,1）,b=（1+sin2x+cos2x,-3）,记f（x）=a·b.
①求f（x）的定义域,值域及最小正周期；
②若f（a/2)-f(a/2+π/4)=√6,其中a∈（0,π/2）,求a的值.

提问时间：2021-03-01

答案

f(x)=(1-tanx)(1+sin2x+cos2x)-3
=2cosx(1-tanx)(cosx+sinx)-3
=2(cosx-sinx)(cosx+sinx)-3
=2cos2x-3
(1) 定义域：｛x/x不等于2分之π+kπ｝
值域｛x/-5≤x≤-1,且不等于-3｝
最小正周期,T=π
（2）带入
得2cosa-2cos(a+π/2)=√6
2cosa+2sina=√6
sin(a+π/2)=√3/2
a∈（0,π/2）,a+π/2∈（π/2,π）
所以 a+π/2=π/3
所以 a=-π/6