题目

已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F（0,1）
（1）求抛物线的方程
（2）过F点的直线l1交C于AB两点,若直线AO,BO分别交直线l2,y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值
第一问算出来了是X^2=4Y.求解第二问,

提问时间：2021-03-01

答案

（2）|MN| 最小,因直线斜率固定为 1,只要确定 M、N 两点坐标差最小即可；
因为 M 在 l2,设其坐标为(m,m-2),则 OM 的方程为 y=[(m-2)/m]*x；
上式带入抛物线方程求 A(Xa,Ya) 坐标：x²=4[(m-2)/m]x,解得 Xa=4(m-2)/m；
同理设另一点坐标 N(n,n-2),可求得 B( Xb,Yb)点坐标 Xb=4(n-2)/n；
因为 AB 连线通过 F(0,1),所以 (Yb-1)/Xb=(Ya-1)/Xa,即 [(Xb²/4)-1]/Xb=[(Xa²/4)-1]/Xa；
化简 (Xb-Xa)/4=(1/Xb)-(1/Xa) → Xa*Xb=-4 → 4(m-2)(n-2)/(mn)=-4 → mn+(m+n)+4=0；
于是 (m-n)²=(m+n)²-4mn=(m+n)²+4[(m+n)+4]=[(m+n)+2]²+12≥12；
45°斜线长 |MN|≥√2*|m-n|=√2*√12=2√6；