题目

计算定积分 ∫cos(lnx)dx ,积分限1到e
我做的结果是 (1/2)(ecos1+esin1-1)
参考答案是[(e/2)(cos1+sin1)] - 1
谁对?

提问时间：2021-03-01

答案

∫ cos(lnx) dx
令u = lnx,x = e^u,dx = (e^u)du
当x = 1,u = 0；当x = e,u = 1
原式= ∫ (e^u)cos(u) du = ∫ e^u d(sinu)
= (e^u)sinu - ∫ sinu d(e^u)
= [e^1 • sin(1)] - ∫ (e^u)sinu du
= esin(1) - ∫ (e^u) -d(cosu)
= esin(1) - [-(e^u)cosu + ∫ cosu d(e^u)]
= esin(1) + [e^1 • cos(1) - e^0 • cos0] - ∫ (e^u)cos(u)
2∫ (e^u)cos(u) du = esin(1) + ecos(1) - 1
∫ (e^u)cos(u) du = (1/2)[esin(1) + ecos(1) - 1]
所以阁下的答案正确的.