题目

用数学归纳法证明：1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)＝

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

(n∈N

提问时间：2021-03-01

答案

证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=

1×2×3×4

4

＝6=左边，∴等式成立．
（2）设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，
即1×2×3+2×3×4+…+k×(k+1)×(k+2)＝

k(k+1)(k+2)(k+3)

4

．  
则当n=k+1时，
左边=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）

＝ k(k+1)(k+2)(k+3) 4 +(k+1)(k+2)(k+3) ＝(k+1)(k+2)(k+3)( k 4 +1)＝ (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 4 ＝ (k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3) 4 .

∴n=k+1时，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N^*成立．