题目

定积分的应用
设（t,t²+1）为曲线段y=x²+1上的点,
(1)试求出由该曲线段与曲线在此点处的切线,以及x=0,x=α所围成图形的面积A(t).
(2)当t取何值时,A(t)最小?

提问时间：2021-02-28

答案

答：
可以先粗略画草图方便理解.
(1).y'=2x,当x=t时,切线斜率为2t,又切线过(t,t^2+1),所以切线为y=2tx-t^2+1.
(我觉得题目应该是默认a>0的,但是没写清楚,所以还是加以讨论更为严谨)假设a>0,围成的面积为A(t)=∫(0到a)dx∫(2tx-t^2+1到x^2+1)dy
=∫(0到a) x^2-2tx+t^2 dx
=x^3/3-tx^2+xt^2|(0到a)
=a^3/3-ta^2+at^2
a0时：A'(t)=2at-a^2,当A'(t)=0时,2at-a^2=0,即t=a/2；
当a0,当t