题目

设P是椭圆

x2

a2

+y2=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．

提问时间：2021-02-28

答案

由已知得到P（0，1）或P（0，-1）
由于对称性，不妨取P（0，1）
设Q（x，y）是椭圆上的任一点，
则|PQ|=

x2+(y-1)2

，①
又因为Q在椭圆上，
所以，x²=a²（1-y²），
|PQ|²=a²（1-y²）+y²-2y+1=（1-a²）y²-2y+1+a²
=（1-a²）（y-

1

1-a2

）²-

1

1-a2

+1+a²．②
因为|y|≤1，a＞1，若a≥

2

，则|

1

1-a2

|≤1，
所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值，
即当-1≤

1

1-a2

≤1时，
在y=

1

1-a2

时，|PQ|取最大值

a2 a2-1

a2-1

；
如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解．
即当

1

1-a2

＜-1时，则当y=-1时，|PQ|取最大值2．

依题意可知|PQ|=

x2+(y−1)2

，因为Q在椭圆上，所以x²=a²（1-y²），|PQ|²=a²（1-y²）+y²-2y+1=（1-a²）y²-2y+1+a²
=（1-a²）（y-

1

1−a2

）²-

1

1−a2

+1+a²．由此分类讨论进行求解．

本题考点：椭圆的应用．

考点点评：本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题时要认真审题，细心计算．