题目

平面上有n个圆，其中每两个圆之间都相交于两个点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成f（n）块区域，则f（n）的表达式是（　　）
A. 2ⁿ
B. 2ⁿ-（n-1）（n-2）（n-3）
C. n³-5n²+10n-4
D. n²-n+2

提问时间：2021-02-28

答案

∵一个圆将平面分为2份
两个圆相交将平面分为4=2+2份，
三个圆相交将平面分为8=2+2+4份，
四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份，
…
平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，
则该n个圆分平面区域数f（n）=2+（n-1）n=n²-n+2
证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而1²-1+2=2，命题成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，命题成立，即k个圆把平面分成k²-k+2个区域．
当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，
而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，
共有k²-k+2+2k=（k+1）²-（k+1）+2个区域．
∴n=k+1时，命题也成立．
由（1）、（2）知，对任意的n∈N*，命题都成立．
故选D．