题目

知函数f(x)=－x³+x²+b.若f(x)在[－1/2,1]上的最大值为3/4,求实数b的值

提问时间：2021-02-28

答案

∵ f(x)=－x³+x²+b   　  x∈[－1/2,1]
∴－x³≥ 0   x² ≥0
∴－x³+x²=x²(1-x)=1/2x x(2-2x)≤1/2[(x+x+2-2x)/3]³≤4/27
  当且仅当   即 x²=1-x 时取等号
即－x³+x²   x=±√5/2 -1/2时 的最大值为 4/27
 但x=±√5/2 -1/2不属于[－1/2,1] 
故f(x)=－x³+x²+b的最大值应在x=-1/2 时取得   即当x=-1/2时  －x³+x²+b=3/4
 
∴b=3/8