题目

n个圆把平面最多分成几份
平面内一个圆把平面分成2部分,二个圆相交最多把平面分成4部分,三个圆相交最多把平面分成8部分……,再画一条直线和这些圆相交后,最多可以把平面依次分为4,8,14……部分.问：
（1）四个圆相交后最多把平面分成几部分?再画一条直线,最多可以把平面分成多少部分?
（2）N个圆相交后最多把平面分成几部分?再画一条直线,最多可以把平面分成多少部分?（N为正整数）

提问时间：2021-02-28

答案

这些问题的推导方法是递推,先看多加一个圆后增加了多少个交点,对圆来说多一个交点就多分了一块区域,而在K个圆上再加一个圆至多能增加2K个交点,所以一个圆分2部分,2个圆分2+1*2,三个圆分2+1*2+2*2,N个圆分2+1*2+2*2+……+(n-1)*2= n(n-1)+2部分
在N个圆上加一条直线顶多是2N个交点,一个交点增加1块区域.所以N个圆加一条直线是n(n-1)+2+2n=n(n+1)+2个区域