题目

抽象代数,有限群,阿贝尔群
G 是一个有限的阿贝尔群,阶数为n.对于所有n的除数m,$x^m=e$ 最多只有m个解.证明G是一个循环群.【提示：以$psi (m)$ 表示所有阶数为m的元素个数,$phi (m)$为欧拉方程,先证明$psi (m)leq phi (m)$,然后利用$n=Sigma_{m|n}phi(m)$证得命题】本人已证明$Sigma_{d|n}psi(d)-phi(d)=0$.因而只要证得$forall m|n,psi (m)leq phi (m)$,则$forall d|n,psi(d)=phi(d)$,因而$psi(n)=phi(n) eq 0$,则G至少拥有一个生成元,G唯一循环群.本人暂不能证明$psi (m)leq phi (m)$,然而得出了于此似乎矛盾的结论：令$psi (m) eq 0,m eq 1$,则 存在$ain G,|a|=m$.审查其生成的循环群：对任意$a^iin $,$a^i$ 为 $$ 的生成元当且仅当$i$ 与 $m$ 互质.因而在$$当中应有$phi (m)$ 个阶数为$m$ 的元素.而在循环群$$之外可能有某些元素结束同样为$m$ 因而$psi (m)geq phi (m)$.
百度知道生成不了 Latex,用mathtype应该可以的,复制粘贴到软件剪切板就可以了

提问时间：2021-02-28

答案

我的LaTeX似乎不支持中文,我就愣敲土话了.实际上,这种情况就应该是psi(m) = phi(m).leq 和 geq 实际上都是对的.这个提示的意思大概是这样的.看这个G里有多少个m阶元.如果x是个m阶元的话,那么它是x^m=e的解,这些...