题目

设A、B是双曲线x^2-y^2/2=1上两点,点N(1,2)是线段AB的中点.
1、求直线AB的方程
2、若线段AB的中垂线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?

提问时间：2021-02-27

答案

设A(xA,yA),B(xB,yB),两点满足双曲线方程
xA^2-yA^2/2=1
xB^2-yB^2/2=1
两式相减得(xA^2-xB^2)-(yA^2-yB^2)/2=0
变形得(xA+xB)(xA-xB)=(yA+yB)(yA-yB)/2
得(yA-yB)/(xA-xB)=2(xA+xB)/(yA+yB).由于N(1,2)是AB的中点,则(xA+xB)/2=1,(yA+yB)/2=2.得
(yA-yB)/(xA-xB)=1,即直线的斜率为1.
得AB直线方程为y=x+1
容易得到CD的方程为y=-x+3,代入到双曲线方程解得C、D的坐标值.
因为是中垂线,所以有∠CAD=∠CBD,如果四点共圆的话,那个这两个对角互补,因此这两个角必然都为90度,即△CAD是直角三角形,验证直角三角形用勾股定理就行了,由于我这里没有笔和纸,具体我就不算了,你下去计算一下就可以了.