题目

z=根号下1-x^2-y^2 和z=2-根号下4-x^2-y^2围城的体积怎么算啊

提问时间：2021-02-27

答案

z=√(1-x²-y² ).(1)和z=2-√(4-x²-y²).(2)围成的体积怎么算啊
由z=√(1-x²-y² )得x²+y²+z²=1；故(1)是球心在原点、半径为1的xoy平面以上的半球.
由z=2-√(4-x²-y²)得x²+y²+(z-2)²=4；故(2)是球心在(0,0,2),半径为2的球.
令√(1-x²-y² )=2-√(4-x²-y²),平方去根号得：
1-x²-y²=4-4√(4-x²-y²)+4-x²-y²,化简得：
4√(4-x²-y²)=7,再平方一次得：
16(4-x²-y²)=49;
即有x²+y²=15/16,代入(1)式得z=√(1=15/16)=1/4;
即两球的交线是一个半径为1/4的园,该园所在平面垂直于z轴且与xoy平面的距离为为1/4.
因此由(1)和(2)所围成的体积V=球缺(2)的体积V₂-球缺(1)的体积V₁
求确体积计算公式：V=πh²(R-h/3),其中R是球的半径,h是球缺的高度.
球(2)的半径R₂=2,球缺高度h₂=1/4；球(1)的半径R₁=1,球缺高度h₁=3/4
V₂=π(1/4)²(2-1/12)=23π/192
V₁=π(3/4)²(1-1/4)=27π/64.
故由(1)和(2)所围成的体积V=V₂+V₁=23π/192+27π/64=104π/192=13π/24.