题目

已知函数f(x)=ax^3+bx²,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
已知函数f(x)=ax^3+bx²,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
（1）求a、b的值,并求f(x)的单调区间；
（2）若函数在区间【m-1,m]上单调递减,求实数m的取值范围.

提问时间：2021-02-26

答案

1、f'(x)=3ax²＋2bx,因点(－1,2)在曲线上,得：
f(－1)=2 ===>>> －a＋b=2 ------------------------------------(*)
又：f(x)在点x=－1处的切线斜率k=f'(－1)=3a－2b=－3 ----------------(**)
解上述方程组,得：a=1,b=3
则：f(x)=x³＋3x²
f'(x)=3x²＋6x=3x(x＋2),则：
f(x)在(－∞,－2)上递增,在(－2,0)上递减,在(0,＋∞)上递增.
2、若f(x)在[m－1,m]上递减,则：
－2≤m－1解得：－1≤m≤0