题目

已知f（x）=x²+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e^-x，φ（x）=f（x）•g（x）．
（1）当a=1时，求φ（x）的单调区间；
（2）求g（x）在点（0，1）处的切线与直线x=1及曲线g（x）所围成的封闭图形的面积；
（3）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-02-26

答案

（1）当a=1时，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．φ′（x）=e^-x（-x²+x）
当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0
∴φ（x）单调减区间，（-∞，0），（1，+∞），单调增区间为：（0，1）
（2）k=g'（0）=-e^-x|_x-0=-1，切线方程为：y=-x+1
所围成的封闭图形的面积为S=∫₀¹[e^-x-（-x+1）]dx=∫₀¹（e^-x+x-1）dx=（-e^-x+

1

2

x2-x)

l

1 0

=

1

2

-

1

e

∫

1 0

=

1

2

-

1

e

（3）φ′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
令φ′（x）=0，得x=0或x=2-a：

由表可知，φ（x）_极大=φ（2-a）=（4-a）e^a-2
设μ（a）=（4-a）e^a-2，μ′（a）=（3-a）e^a-2＞，
∴μ（a）在（-∞，2）上是增函数，
∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4-a）e^a-2≠3，
∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．（14分）

（1）当a=1时，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．先对函数y=φ（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，
根据φ′（x）＞0求得的区间是单调增区间，φ′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）先求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线方程．最后利用定积分的几何意义求面积即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a，使φ（x）的极大值为3，再利用导烽工具，求出φ（x）的极大值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

本题考点：A:利用导数研究函数的单调性 B:利用导数求闭区间上函数的最值 C:定积分在求面积中的应用

考点点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值、定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于中档题．