题目

已知抛物线y²=4x的准线与双曲线

x2

a2

−

y2

4

＝1交于AB两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为正三角形，则双曲线的离心率是 ___ ．

提问时间：2021-02-26

答案

已知抛物线y²=4x的准线为x=-1，焦点F（1，0），
把x=-1代入双曲线

x2

a2

-

y2

4

=1求得y=±

1-a2

•

2

a

，
再根据△FAB为正三角形，可得tan30°=

3

3

=

2 a 1-a2

2

，解得 a=

3

2

．
故 c²=

3

4

+4，∴

c

a

=

57

3

，
故答案为

57

3

．

求得抛物线y²=4x的准线为x=-1，焦点F（1，0），把x=-1代入双曲求得y的值，再根据△FAB为正三角形，可得tan30°=

2 a 1−a2

2

，解得a的值，可得 

c

a

 的值．

本题考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查椭圆、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．