题目
如果三个完全平方数之和能被9整除,那么可以从这三个数中选出两个来,使得这两个完全平立数之差也能被9整除.
提问时间:2021-02-25
答案
下面我们先来讨论任意的完全平方数被9除的余数.
根据同余理论,我们知道,任何一个整数总可以表示成:9k,9k±1,9k±2,9k±3及9k±4这九种情况中的一种.
现在将这九种情况分别平方,于是可得:(9k)2=9×9k2+0;(9k±1)2=9(9k2±2k)+1;
(9k±2)2=9(9k2±4)+4;(9k±3)2=9(9k2±6k+1)+0及(9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7.
可见,任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0,1,4,7这四种情况之一.
另一方面,由于所选的三个完全平方数之和能被9整除,因此这三个数的余数之和也一定能被9整除;而从0、1、4、7这四个数中选出三个,其和要能被9整除,只可能是{0,0,0}、{1,1,7}、{1,4,4}或{4,7,7}这四种情况中的一种.
而在上面这四种可能的余数组合中,每一组都至多有两种余数,因此至少有两个完全平方数被所9除的余数相同,从而这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除.
根据同余理论,我们知道,任何一个整数总可以表示成:9k,9k±1,9k±2,9k±3及9k±4这九种情况中的一种.
现在将这九种情况分别平方,于是可得:(9k)2=9×9k2+0;(9k±1)2=9(9k2±2k)+1;
(9k±2)2=9(9k2±4)+4;(9k±3)2=9(9k2±6k+1)+0及(9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7.
可见,任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0,1,4,7这四种情况之一.
另一方面,由于所选的三个完全平方数之和能被9整除,因此这三个数的余数之和也一定能被9整除;而从0、1、4、7这四个数中选出三个,其和要能被9整除,只可能是{0,0,0}、{1,1,7}、{1,4,4}或{4,7,7}这四种情况中的一种.
而在上面这四种可能的余数组合中,每一组都至多有两种余数,因此至少有两个完全平方数被所9除的余数相同,从而这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除.
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