题目

等差数列 (5 13:21:39)
已知数列{an}的前n项的和为Sn,且满足a1=1/2,an+2SnSn-1=0(n≥2)
（1）证明：数列{1/Sn}是等差数列
（2）求数列{an}的通项公式
 

提问时间：2021-02-25

答案

Sn*S(n-1)=-an/2
Sn-S(n-1)=an
所以[Sn-S(n-1)]/Sn*S(n-1)=-2
Sn/Sn*S(n-1)-S(n-1)/Sn*S(n-1)=-2
1/S(n-1)-1/Sn=-2
1/Sn-1/S(n-1)=2
1是常数
所以1/Sn是等差数列
S1=a1=1/2
1/S1=2
1/Sn是等差数列,且d=1/Sn-1/S(n-1)=2,1/S1=2
所以1/Sn=2+(n-1)*2=n
Sn=1/n
所以 S(n-1)=1/(n-1)=1/(n-1)
所以an=Sn-S(n-1)=1/n-1/(n-1)=-1/(n^2-n)
a1=1/2,不符合an=-1/(n^2-n)
所以
n=1,an=1/2
n>=2,an=-1/(n^2-n)