题目
一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得的弦长分别为8,4,求动圆圆心的轨迹方程.
提问时间:2021-02-25
答案
如图所示,设点M(x,y),由条件可得,AB=4,EC=2,
由点到直线的距离公式可得,MA2=
,MC2=
由垂径定理可得,MA2+AB2=MC2+EC2,
∴
+16=
+4,化简可得,xy=10.
∴点M的轨迹方程为xy=10.
由点到直线的距离公式可得,MA2=
(3x−y)2 |
10 |
(3x+y)2 |
10 |
由垂径定理可得,MA2+AB2=MC2+EC2,
∴
(3x−y)2 |
10 |
(3x+y)2 |
10 |
∴点M的轨迹方程为xy=10.
动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得的弦长分别为8,4,利用点到直线的距离公式,可求MA2,MC2由垂径定理可得,MA2+AB2=MC2+EC2,化简即可.
轨迹方程;点到直线的距离公式.
本题以直线与圆相交为载体,考查轨迹方程,解题的关键是利用圆的特殊性,借助于垂径定理求解.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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