题目

已知点A,B的坐标分别为（-1,0）,（1,0）直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-1.
求点M的轨迹E的方程
若过点H(0,h)(h>0)的两直线l1和l2的轨迹E都只有一个交点,且l1垂直l2求h的值
在x轴上是否存在两个定点C,D,使得点M到点C的距离与到点D的距离的比恒为根号2/2,若存在,求出定点C,D,若不存在,请说明理由

提问时间：2021-02-24

答案

1）设M坐标（x,y）,AM斜率k1=y/(x+1),BM斜率k2=y/(x-1),斜率之积k1*k2=(y^2)/(x^2-1)=-1,
得x^2+y^2=1,不包括(-1,0)和(1,0)两点.（其实就是过原点半径为1的圆,扣掉两端点）
2）过H与E只有一个交点,说明点H在轨迹E的外部（即圆外）且,l1与l2为过H与轨迹E的切线.设切点分别为A、B,那么点o（原点）、A、B、H组成一个四片形,其中oA垂直AH,AH垂直HB,HB垂直Bo,那么该四边形为正方形（四边形中三个角为直角）.易得oH长为根号2,h=根号2.
3）设C、D坐标为(a,0) (b,0),点M坐标(x,y)那么MC为根号（(x-a)^2+y^2）,MD为根号（(x-b)^2+y^2）,MC/MD=根号（((x-a)^2+y^2)/((x-b)^2+y^2)）=根号2/2 ,即((x-a)^2+y^2)/((x-b)^2+y^2)=1/2.
化简得：y^2+2(x-a)^2-(x-b)^2=0 (方程1)题中要求任意点M满足x^2+y^2=1(方程2),将方程2代入方程1消去y^2项得：(2b-4a)x+(2a^2-b^2+1)=0,该等式应恒成立.
即2b-4a=0且2a^2-b^2+1=0,求出a=根号2/2,b=根号2或 a=负根号2/2,b=负根号2.