题目

傅里叶级数 正交性的证明
f(x) =C+a1sin x + b1 cos x + a2 sin 2x + b2 cos 2x .
要证明上面这个傅里叶函数的正交性
1 要证明的问题是什么
是否为 这里面的每一项 跟 所有其他的项 的点积都是0?
即 证明 :
a.ʃcos mx * sin nx dx=0 [区间 0-2π] (m,n 为大于0 的自然数)
b ʃ cos mx * cos nx dx=0 [0-2π] (m不等于n )
c ʃ sin mx * sin nx dx=0 [0-2π] (m不等于n )
(第一项肯定有 但是第二三项我不确定)
2 要如何证明
准确的来说 如何对 f(x)= cos mx * sin nx dx,
g(x)= cos mx * cos nx ,
h(x)= sin mx * sin nx 这三种函数求积分?

提问时间：2021-02-24

答案

cos(mx)*cos(nx) = 1/2 * [cos(m+n)x + cos(m-n)x] ʃcos(mx)*cos(nx) *dx=1/2 * ʃcos[(m+n)x]*dx + 1/2 * ʃcos[(m-n)x]*dx=1/2 * 1/(m+n) * sin[(m+n)x] + 1/2 * 1/(m-n) * sin[(m-n)x], x = 0 → 2...