题目

请给我一道简单的线性规划例题~急用!
不要应用题,就最简单的那种,我大概知道解题思路就行~

提问时间：2021-02-24

答案

例1 画出不等式组 表示的平面区域．
分析 采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域,然后求其公共部分．
解 把 ,代入 中得
∴ 不等式 表示直线 下方的区域（包括边界）,即位于原点的一侧,同理可画出其他两部分,不等式组所表示的区域如图所示．
说明 “图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．
例2 若 、 满足条件 求 的最大值和最小值．
分析 画出可行域,平移直线找最优解．
解 作出约束条件所表示的平面区域,即可行域,如图所示．
作直线 ,即 ,它表示斜率为 ,纵截距为 的平行直线系,当它在可行域内滑动时,由图可知,直线 过点时,取得最大值,当 过点 时,取得最小值．
∴ ∴
说明 解决线性规划问题,首先应明确可行域,再将线性目标函数作平移取得最值．
例3 某糖果厂生产 、 两种糖果,种糖果每箱获利润40元,种糖果每箱获利润50元,其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序,下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）
混合
烹调
包装
1
5
3
2
4
1
每种糖果的生产过程中,混合的设备至多能用12机器小时,烹调的设备至多只能用机器30机器小时,包装的设备只能用机器15机器小时,试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．
分析 找约束条件,建立目标函数．
解 设生产 种糖果 箱,种糖果 箱,可获得利润 元,则此问题的数学模式在约束条件 下,求目标函数 的最大值,作出可行域,其边界
由 得 ,它表示斜率为 ,截距为 的平行直线系,越大,越大,从而可知过 点时截距最大,取得了最大值．
解方程组
∴ 即生产 种糖果120箱,生产 种糖果300箱,可得最大利润19800元．
说明 由于生产 种糖果120箱,生产 种糖果300箱,就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分）,烹调时间5×120＋4×300＝1800（分）,包装时间3×120＋300＝660（分）,这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间,但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用,这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部分,有待于改进研究．
例4 甲、乙、丙三种食物的维生素 、 含量及成本如下表：
甲
乙
丙
维生素 （单位/千克）
600
700
400
维生素 （单位/千克）
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
某食物营养研究所想用 千克甲种食物,千克乙种食物,千克丙种食物配成100千克的混合食物,并使混合食物至少含56000单位维生素 和63000单位维生素 ．（1）用 、 表示混合物成本 ．（2）确定 、 、 的值,使成本最低．
分析 找到线性约束条件及目标函数,用平行线移动法求最优解．
解 （1）依题意：、 、 满足
∴ 成本 （元）
（2）依题意
∵
∴
作出不等式组所对应的可行域,如图所示．
联立
作直线 则易知该直线截距越小,越小,所以该直线过 时,直线在 轴截距最小,从而 最小,此时7×50＋5×20＋400＝ ＝850元
∴ 千克,千克时成本最低．