题目

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

＝(sinB+sinc，sinA−sinB)，

n

＝(sinB−sinC，sin(B+C))，且

m

⊥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA＝

4

5

，求cosB的值．

提问时间：2021-02-24

答案

（1）由

m

⊥

n

可得，

m

•

n

=sin²B-sin²C+sin²A-sinAsinB=0，
由正弦定理，得b²-c²+a²-ab=0．…（2分）
再结合余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

．…（4分）
∵0<C<π，∴C=

π

3

．…（6分）
（2）∵sinC=

3

2

=

75

10

>

64

10

=

4

5

=sinA，∴由正弦定理知c>a，
故

π

3

=C>A，故cosA=

3

5

．…（9分）
∴cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=

4 3 -3

10

．…（12分）

（1）两个向量数量积公式及两个向量垂直的性质可得b²-c²+a²-ab=0，再利用余弦定理求出cosC的值，即可得到C的值．
（2）由sinC＞sinA及正弦定理可得c＞a，利用同角三角函数的基本关系求出cosA，再利用两角和的余弦公式和诱导公式
求出cosB的值．

本题考点：解三角形；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的综合题．

考点点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，余弦定理和诱导公式的应用，三角形中大边对大角，
两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．