题目

设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=(Sn/n)+2(n-1)(n∈N*) 求证:数列an为等差数列,
设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=(Sn/n)+2(n-1)(n∈N*)
1、求证:数列an为等差数列,并分别写出an和Sn关于n的表达式
2、是否存在自然数n,使得S1+S2/2+S3/3+…+Sn/n—（n—1）^2=2013,若存在,求出n的值,若不存在,请说明理由

提问时间：2021-02-23

答案

n≥2时,an=Sn/n +2(n-1)
Sn=nan -2n(n-1)
S(n-1)=(n-1)an-2(n-1)(n-2)
Sn-S(n-1)=an=nan-2n(n-1)-(n-1)an+2(n-1)(n-2)
an-a(n-1)=4,为定值.
又a1=1,数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列.
an=1+4(n-1)=4n-3
数列{an}的通项公式为an=4n-3.


即sn=[n(1+4n-3)]/2

Sn/n=an -2(n-1)=4n-3-2(n-1)=2n-1
S1/1 +S2/2+...+Sn/n -(n-1)²
=2(1+2+...+n) -n -(n-1)²
=2n(n+1)/2 -n -(n-1)²
=2n-1
令2n-1=2011
2n=2012
s1=1
即S1+S2/2+S3/3+…+Sn/n—（n—1）^2=2013