题目

在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a-c）cosB．
（1）求cosB；
（2）若

BC

•

BA

=4，b=4

2

，求边a，c的值．

提问时间：2021-02-23

答案

（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，
∴3sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．
∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=

1

3

．
（2）由

BC

•

BA

=4，b=4

2

，可得，a•c•cosB=4，即 ac=12．…①．
再由余弦定理可得 b²=32=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-

2ac

3

，即 a²+c²=40，…②．
由①②求得a=2，c=6； 或者a=6，c=2．
综上可得，

a＝2 c＝6

，或 

a＝6 c＝2

．

（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值．
（2）由

BC

•

BA

=4 可得 ac=12，再由余弦定理可得 a²+c²=40，由此求得边a，c的值．

本题考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．

考点点评：本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查两角和公式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．